余数可以是0吗？
起
有人说数学教学是一门思辨的艺术，严密的推理，逻辑的论证，精确的计算，步步为营的思维方式，总能让人体会数学的无穷魅力！
最近我和我们的数学组团队就经历了一场这样的头脑风暴。
引发思考的导火索是
一道填空题
▼
在（ ）÷ 6 = 4 ……（ ）中，第二个括号最小能填（ ），则第一个括号里填（ ）。
“第二个括号最小能填几”其实就是“余数最小是几”，这个问题在同组老师中引起了争议，有人说“余数最小是1”，有人说“余数最小是0”，孰是孰非？笔者那股“刨根问底”的劲头儿上来了，决定抱着科学严谨的态度，多方论证，一探究竟。
一线
之声
余数可以是0吗？——笔者很想知道一线老师们怎样看待这一问题，于是随机“采访”了几位老师。
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师1：什么叫有余数的除法？平均分后，没有完全分完，所剩下的就是余数，如果完全分完了，应该是没有余数了，所以我认为有余数的除法应该不包括完全分完的这种情况，所以余数不可能有0。
师2： 首先如果0是余数，那整数的除法都是有余数的除法了，就不存在没有余数的除法，这与我们平时的说法不一致。再从字面上理解，“余数”就是剩余的数，没有剩余怎么会有余数呢？
师3：我找到了2012年最新版（第6版）《现代汉语词典》（商务印书馆），在P1585关于“余数”一词是这样解释的，“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。如27÷6=4…3。即不完全商是4,余数是3。
师4：任何除法都有余数，当然0也是余数，在有些版本的教材中有提示，余数0可以不写，但有一点得明确，0一定不能当除数，否则就无意义。师5：在有余数的除法中，除得的余数必须比除数小，0比除数小。我觉得0是余数。
教材
之说
老师们不同的答案，各有各的道理，可究竟孰是孰非，我也不敢妄下结论，决定借助教材来找寻答案。
通过网络和其他途径，笔者找到了几种使用较广的不同版本小学数学教材。不同版本教材对“余数”这部分内容相关章节的呈现，以及《教师用书》中关于教材的解读，引发了笔者的一些思考。
《有余数除法》这部分内容新版教材由三年级上册前移至二年级下册，与实验教材相比，主题图在编排上发生了很大的变化，由纯粹的算式探究改为了活动探究，突出体现了利用实际操作加强学生理解余数的含义。
新版教材例2通过用小棒摆正方形的操作活动，在巩固有余数除法的含义的基础上，让学生通过观察、比较、分析、发现余数和除数之间的关系〔余数＜除数〕，明白余数比除数小的道理。随后的“做一做”题目设计比较巧妙，没有给出小棒的总根数，而是让学生运用余数和除数的关系解决问题，使学生明确：最小的余数是1，最大的余数比除数小1，进而加深学生对余数和除数关系的理解。
的思考
对比新老人教版的教材，虽然探究余数和除数关系时在编排的理念上有很大的变化，但正文部分都没有直接给出余数的相关结论和余数可能是几的明确答复，给我的感觉是“犹抱琵琶半遮面”，一线老师仍是不甚明了。但从教参的解读，依稀能感觉编者还是更加倾向“余数不可以为0”这一观点。
由于个人所处地域及其他各方面原因，没有找到相应的教师教学用书，所以也不敢妄加解读，感到特别遗憾，以后等找到相关的材料再补上。
的思考
老苏教版这部分内容教材呈现形式和北师大（第3版）几乎一样，都是出示一组算式，让学生通过“比较每道题的余数和除数的大小，你发现了什么？”，教材中没有给出明确的答复，估摸着教参的说法应该也和北师大（第3版）差不多，认为余数就是指分剩下的数。
新苏教版关于这部分的内容呈现和新人教版差不多，都是通过用小棒摆正方形的操作活动，让学生通过观察、比较、分析、发现余数和除数之间的关系。不同的是人教版教材中没有给出结论，而新苏教版教材中明确地告诉学生“余数可能是1、2、3，不能是4”，直接说出了余数的所有可能，没有说有0。个人认为苏教版的编者可能更倾向“余数不能为0”这一结论，认为最小的余数就是1。
第3版教材P4通过四道题的练习，让学生通过比较每道题的余数和除数，自主探索并发现余数与除数之间的关系，教学时教师要让学生认识到分剩下的数就是余数。第4版教材P4结合搭正方形的活动，为学生理解余数和除数的关系提供了形象化的支撑。整个活动完成之后，再观察填写表格，有利于激发学生产生“余数一会儿大一会儿，怎么回事”、“余数都比除数小，为什么”的数学问题，进而自然引导学生总结出余数和除数的关系。
的思考
在第4版教参中有这样的几段话引起了我的注意：
①《教参》P2说“本册是第二次学习除法，重点是指结合平均分物与操作活动学习有余数除法(注：本单元‘有余数的除法’都是指‘有剩余的除法’，即余数不为0的除法)，认识余数并探索除数和余数的关系”。
② 另外在P13又说“需要说明的是，在上面的探索活动中，为了呈现操作过程的原始记录，学生需要填写余数为0的算式，但是在平时进行除法运算时，余数为0可以不写”。
教参中首次出现“余数为0”这一关键词，对比第3版教参，从“教学时教师要让学生认识到分剩下的数就是余数”→“本单元‘有余数的除法’都是指‘有剩余的除法’，即余数不为0的除法” →“为了呈现操作过程的原始记录，学生需要填写余数为0的算式”。第4版教参没有回避“余数可以是0”这一话题，我想编者一定不会在这块内容随意进行修改，肯定也是经过了一番考证，觉得余数为0还是有道理的，应该是有意而为之。
专家
论道
在数学课本上找不到“余数可以为0”的论述，教参中的说法又没有形成统一的观点，而在词典中却找到了“余数不可以为0”的证据，所以不难理解很多老师都坚持认为余数不能为0了，事实的真相果真如此吗？
毕竟词典只能代表一家之言，我还是决定找找数学方面的专业书籍和求证有关专家，希望在那里找寻到我想要的答案。
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电话联系到一位攻读了博士学位、现在大学数理学院任教的同学，把自己的疑惑和想法和他进行了交流，他也不能轻易下结论，要想真正弄清楚必须找到相关的佐证。
几天后这位爱做研究的同学发来了多篇关于余数知识的论文，并快递过来一本他用过的大学教材——《初等数论》（潘承洞、潘承彪著），北京大学出版社出版，在这本书P16第一章《整除》§3〈带余数的除法〉有这样的论述“初等数论的证明中最重要的、最基本、最直接的工具就是下面的带余除法，也称除法算式”，上面记载了如下的定理和推论。
[ 定理1 ] 设 a、b 是两个给定的整数，a≠0，那么一定存在唯一的一对整数 q 和 r，满足 b＝qa＋r，0≤r＜∣a∣，此外 a∣b 的充要条件是 r＝0
这里 r 指的就是余数，书中非常明确地告诉了我们余数可以是0。
小学数学特级教师牛献礼关于余数有这样一段论述——
为什么有人提出“0是余数吗”的质疑呢？这可能与平时不严谨的语言描述有关。如把“没有剩余的除法”说成“没有余数的除法”，把“有剩余的除法”说成“有余数的除法”。这种把除法分成有或没有余数的描述，导致了认知冲突：既然没有余数，怎么又冒出余数是0呢？
这段话给了我很大的启示，令我豁然开朗。
接着，笔者在网上搜集了很多关于余数方面的专家论文，其中有一篇是江西南昌师专肖鉴铿教授撰写的题目是《浅谈在整数除法中余数可以为零》，里面有这样的一段论述“事实上, ‘余数为0’的提法早已被数学界认可。‘余数为0’的说法是有据可查的”，在《小学数学教师手册》(人民教育出版社，1982年)第49页有如下表述：
判定一个整数能不能被另一个正整数整除，只需进行除法运算即可。如果所得的余数为0，就是整除的情况；如果所得的余数不为0，就是不能整除的情况。
在
现如今的时代，数学不但作为基础工具发挥着越来越重要的作用，而且作为一种文化，也日益深入人心。近些年来，生活中人们对0的的认识越来越到位了：如没有距离被称作“零距离”；把没有错误称作“零失误”；把没有风险称为“零风险”。而像买车买房 “零首付”“零月租”“零利息”之类的提法早已见诸各大媒体，像这类以“零××”为模式的新词还在不断地出现。前段时间一次被人们广泛用于很多的行业和领域，“零容忍”政策也日益成为人们关注和讨论的热点。
一道习题引发诸多思考，一道习题带领我们经历了一场数学的思辨之旅，在这场与一线老师、教材论著、专家学者酣畅淋漓的对话中，我们收获的不仅仅是对“余数可以是0吗”这一问题的认识，更是对待数学问题钻研较真的态度和科学严谨的治学方法。我愿与我的同仁们一起在数学教学研究的路上共同碰撞、共同思辨、共同成长……
来源 君话数学
封面 网络
编辑 新世纪小学数学
我们的杂志——《新世纪小学数学》
欢迎一线教师和数学教育工作者拨冗赐稿
投稿邮箱：xsjmath@163.com
虽然你们研究的很透彻，但对于小学生来说有什么意义，在小学，余数的出现来源于学生的平均分的操作的结果，这就是小学数学。区分于科学数学，在数论中研究，为了区别整除与不整除，需要研究0的问题，就出现。在通式中，r=0，也是为了有一个通式。我认为研究问题通透后还要结合学段给出合理解释，否则无法考察相关的学点知识。
您可以参考我们的教材对余数的处理方式，有什么针对性建议可以告诉我们，我们会反馈到教材分册主编。
数学教学中，经常会发现一些知识矛盾点，因为身处角度不同，对定理和概念的理解也不同，比如长方形，正方形；小学生知识范畴内叫长方形，正方形，到大学里叫做矩形，长方形和正方形不就是矩形么？实质是一样的，只不过学问渊博的人为了方便，所以改成矩形，大学里的矩阵不就是长方形和正方形阵体么?
为什么非要从大学教材里找论据，为什么不从小学生的认知出发？小学生的比较容易理解的关于余数的内容就是：有剩余就有余数，没有剩余就没有余数。为什么非要拿“0”当余数。
本人觉得将大学教材中的论据用来证明小学教材中的知识点本身就存在问题，举个不恰当的例子：就像高射炮打蚊子。小学教学内容，本就是从实际出发，解决生活中出现，易于理解，服从于认知的根本性内容， 一就是一，二就是二，非常明确。大学教学内容比较浮夸、难懂，很多论点都是从别的论点中推理出来的，脱离生活实际，更别说应用了，比如一些理论，经过困难的论证，得到确认，其中有部分论证过程被省略，被一些人断章取义，指鹿为马，挪为他用，严重背离教书育人的初衷。
1.其实我们理解的一些“知识矛盾点”，是从不同年龄阶段学生的理解能力出发的，比如说2年级的时候，学生学习长方形和正方形，但并不强调正方形是特殊的长方形，随着学生年龄的增加和对客观世界理解能力的加强，渐渐地意识到正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形……等等，这本身就是从学生的认知出发，对知识的学习设计的螺旋上升的架构。
对于有余数的除法来说，余数就是计算后余下的数，那当然可以是0，这也是教材提出的所谓的“有余数除法”其实讨论的是“有剩余的余数”的原因所在，如果没有剩余，所以余数是0.北师大版教材在引导学生学习有余数除法，特别是理解余数和除数的关系时，注重让学生通过动手操作体会其中的规律，既来源于生活，又可以解释数学计算中的这种现象，不仅是探究出来的结果，更希望探究的过程可以帮助学生体会如何思考问题。