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《课标解读》第十四章 数学教材编写建议与实施
来源:2011版《义务教育数学课程标准解读》 时间:2014-02-11 17:20:08 阅读量:
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      第十四章 数学教材编写建议与实施

   

 按照《标准》的基本定位,数学教材“是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源”。具体说来,数学教材是数学课程理念的基本物化形式,学生学习数学、教师教授数学的最基本蓝本,是联接“数学课程目标”与“数学课堂教学”的最主要桥梁。      

 数学教材的编写应当以《标准》为基本依据,即准确反映《标准》对数学课程内容的阐述和要求,对数学学习和数学教学过程的刻画和定位;同时,数学教材的呈现还应当有利于它的使用者——学生和教师,在现行数学教学环境下实现《标准》所确立的数学课程目标。

 我国目前的数学教材使用呈现“一纲多本”的现状,因此,每一套教材都会凸显编写者对数学、数学教育、特别是《标准》的理解与把握。但作为《标准》下的实验教材,都应当遵循《标准》提出的教材编写建议。

一、教材编写应体现科学性

     《标准》中所呈现的数学课程是一种作为教育任务的数学,其科学性包含课程、学科、学生三个主要方面。具体而言,教材编写应当遵循以下几个要求。

 1. 全面体现本标准提出的理念和目标

 作为联接课程与教学的桥梁,教材的功能已不仅仅是单纯地传递了“学什么”,还承载着表现“怎样学”的任务。因此,数学教材应全面体现和落实数学课程的理念和目标,具体包括:  

⑴ 以促进学生发展作为出发点

 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程,其最主要目的在于借助数学教育促进学生的一般发展。为此,教材设计应首先考虑到学生心理发展的一般规律,在恰当的时机提出学习主题,以合适的方式呈现学习内容,针对学生发展的阶段性特征,提出相应的学习目标,以利于学生在数学学习过程中真正获得对所学内容的理解、构建有效的数学认知结构。比如,对于抽象的数学学习对象,教材应尽可能提供相应的直观背景,对复杂的代数运算,教材应安排梯度化的范例和练习,对认识空间几何形体的内容,教材要设计具体的操作性活动,等等。

⑵ 同时关注“过程性目标”与“结果性目标”

      《标准》所设立的课程目标既包含“过程性目标”,也包含“结果性目标”,两者之间既有区别、也有联系,而就实现的方式和过程而言,两者的区别更为明显。在教材编写过程中,如果我们仅仅设计“展示”、“模仿”、“推演”、“练习”等类型的活动,那么教学活动指向就更为贴近“知道结果”、“掌握技能”、“学会程序”等类型的结果性目标;而教材中若设计了“观察”、“思考”、“交流”、“猜想”等类型的活动,则其教学活动指向就更为贴近“探究对象”、“提高能力”、“加深理解”等类型的过程性目标。因此,教材的设计应当针对相应的学习目标、学习主题,同时有利于促进两者的实现。

     例如:在设计方程等内容时,教材若仅仅提供方程的求解(包括不同类型的方程、不同的求解技巧)问题,简单的应用型问题(仅需做文字——字母间“翻译”工作的文字题)求解实例,以及大量的模仿性练习,那么,教学活动的指向就更为贴近“掌握解方程的技能”、“学会列方程的方法”等类型的结果性目标;但若在教材中提供“观察现实或数学现象,并提出问题”、“尝试并猜测方程的解”、“比较不同解法的异同之处”、“解释解的合理性”等活动,那么,教学活动的指向就更为贴近“发展抽象能力、提出问题的能力、建模能力”、“领悟数学思想方法”、“发展应用数学的意识和能力”等类型的过程性目标。据此,方程内容的设计就应当同时提供上述两种类型的数学活动。

   体现课程与技术的有效整合

       信息技术对社会文明发展和生活质量的影响是显而易见的。从国际数学教育发展趋势来看,正如《标准》所说的:信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。因此,信息技术与数学课程、教材的有效整合是必然趋势,事实上,《标准》也明确提出:课程设计与实施应当合理使用现代信息技术。数学教材作为学生学习数学的主要资源,更应当极为关注技术与课程的有效整合。

      与教育较为发达的国家所开发的数学教材相比较,我国数学教材在整合信息技术方面的研究虽然有所突破,但总体而言较为落后。因此,在现有情形下,教材编写者首先应积极探求尽可能凸显技术对于数学学习的帮助,例如:借助计算器处理较为复杂的数值计算,以及探索数据中存在的数学规律;借助计算机和数学软件探究复杂的函数关系;在探索几何对象,包括空间形体及其关系、图形的运动过程时,借助数学软件直观展现研究对象、变化过程;在处理与表示数据的过程中,在模拟概率实验的活动中,有效使用计算器与计算机解决问题;等等。同时,也需要避免教材中因使用了信息技术而忽略、甚至取消必要的数学活动设计。例如,在有关概率实验内容设计中,仅仅提供用于观察的、由计算机展示的转盘游戏、摸球游戏,而取消了实际进行的相关操作性活动,等等。

     需要提及的是,由于经济发展的不均衡,我国尚有许多地区的学生无法接触到现代信息技术。因此,教材编写者应当通过适当的途径(比如在教师用书里),对相应的内容处理提供其他有效方式。

 

 2. 体现课程内容的数学实质

   作为学生学习数学的主要课程资源,教材在展示数学学习主题、选取和呈现学习素材时,应当着力体现数学知识的本质。为此,在教材编写过程中,应特别关注以下几点。

   ⑴ 教材内容应首先关注相应课程内容的主干

   教材内容的选取应首先关注课程的主干而非形式、细节。比如,在设计证明与求解方法的教学内容时,应关注对通性通法内涵与价值的介绍,而不应当舍本求末,过于关注特定的技巧、方法。以一元二次方程的求解为例,教材应突出介绍一般性的求解方法,而不是某些特定的技巧(如十字相乘法)。

  ⑵ 教材要体现数学知识的严谨性特征

   所有的数学结论是有依据的,即结论成立的条件是明确的,条件与结论之间的因果关系是确定的。比如,关于定理的学习,教材应首先体现其结论的探求过程,以利于学生明确其条件,其次要体现其证明过程,以帮助学生明确条件与结论之间的因果关系。但需要注意的是,作为教育任务的数学,在体现数学严谨性的同时,应当考虑到学生的可接受性,即所有严谨性的要求,都应当在不违背正确性的前提下,以学生能够理解和接受其严谨性含义、要求为基本准则。

     学习素材选取与呈现应利于突出内容的数学内涵

 学习素材是学生开始相应内容学习的“引子”,它不仅起着引发学生学习欲望的作用;还承担将学生生活经验、学习背景与学习主题相联接,促进学生加深理解相关知识的作用;进一步,它更具有发展学生抽象、概括等能力的作用。因此,教材在选择学习素材时,不能仅仅关注其是否有趣、是否能够激发学生的学习动机,还要关注其是否有利于突出相应课程内容的数学内涵,这样才能更好地实现其上述功能。

(4) 课程内容编排应反映其数学价值

 《标准》对数学课程内容的学习要求不仅包含知识、技能方面,还包含数学思想、数学活动经验方面。为此,教材在设计课程内容结构时,应围绕相应主题,介绍有关的产生背景、发展过程、思想方法、应用情境等,以求全面反映其数学价值。例如,在“测量”内容的设计过程中,应同时介绍其产生的需要,相应单位、方法的发展过程,其中蕴含的数学思想,以及多样化的应用情境等。

   3. 准确把握内容标准要求    

       毫无疑问,教材中所呈现的数学学习主题应当以《标准》为依据,即:《标准》中列举的课程内容才能够成为所有学生必须学习的,除此以外的所有内容应当以醒目的“选学”等形式标注,说明其仅供教师或学生选择;《标准》明确的难度要求应当是教材提出的学习难度的上限。具体包括:

     ⑴ 准确理解课程内容要求

此次《标准》对于数学课程内容采用了“必学”与“选学”两种模式呈现。其中,“必学”部分是指每一位学生都应当学习的内容,而“选学”部分则仅仅提供给有进一步学习愿望的学生。需要说明的是,这样的定位并不表示必学部分的内容一定简单、易学,选学部分的内容一定复杂、难学;更不意味着学习选学部分的一定是成绩优秀的学生,事实上,希望了解相关知识的学生都可以学习选学内容。因此,编写教材中的选学内容时,难度不能成为衡量其合适与否的最核心指标,而是否体现相关内容的数学实质和最核心的价值仍然是重要的评价指标。比如,三元一次方程组作为选学内容,其要旨首先在于帮助学生体会“消元”的思想,教材所提供的具体方程组,其求解过程不一定过于复杂,重心更应当是体现“消元”的含义、过程,以帮助学生领悟“消元”的思想。

     ⑵ 明确相应学段要求

      由于《标准》通盘设计了义务教育阶段的数学课程,因此,许多数学学习主题在不同的学段均有所体现,此时,教材设计要严格按照《标准》的要求,准确定位本学段相关主题的学习目标,既不能滞后、也不能超前。

      例如,“统计图表”的学习贯穿第二、三学段,但两个学段的学习要求有明显区别,第二学段更多地在于要求学生了解、能初步使用,第三学段则更为关注让学生比较不同统计图表的优势,和基于问题的特征,选择适当的统计图表表达数据。因此,第二学段的教材应关注介绍相应统计图表的基本含义,准确阅读其传达的信息,在实际情境中正确使用统计图表表达数据;而第三学段教材则突出比较采用不同统计图表表达同一数据(组)后所带来的便利,以及在较为复杂的情境中选择适当的统计图表表达数据,以利于问题的求解。

     ⑶ 关注学段之间联接

      一方面,如上所述,许多数学学习主题在不同的学段均有所体现,而且彼此间存在实质性联系,另一方面,学生的学习都是在其已有基础之上进行的。因此,教材的编写应考虑到这些关联,以利于学生学习的延续性。

      比如,“函数”内容的学习,贯穿整个三个学段,而后续学段的学习都建立在先前学段学习基础之上进行,同时也有明确的更高要求。如:相比第一学段的“探索简单情境下的变化规律”要求,第二学段的“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”不仅在“情境”要求方面有所提高,更提出对“变化趋势”的关注,即对未知的判断;而第三学段除了在背景多样化、关系复杂程度等方面都提高要求以外,更注重对特定函数关系的量化研究、模型研究。为此,教材的编写应以先前学习任务的研究作为出发点,指向本学段的学习重心。

     4. 教材的编写要有一定的实验依据

       数学教材的编写工作是一项严谨的科学性工作,除去上述各项要求以外,其编写过程也要有一定的实验依据。它主要体现在:

     ⑴ 教材体系与体例的理论思考

      作为数学课堂教学的正式教学资源,数学教材的体系、体例应当有相应的成熟学习理论作依据,或者说,它不能仅仅以过往经验作为编写依据。具体地,在编写过程中,从内容结构设置、活动环节设计、素材选取,到呈现方式、阅读材料取舍,乃至习题配置,都应当有明确、一致的理论依据。

     ⑵ 教材处理的实验性依据

      尽管有一定的数学教育理论作依据,但教材的文本形式终究仅仅体现了编写者对数学学习者、数学学习活动的认识和判断,并不一定与学生的数学学习活动相匹配,特别是那些新加入的课程内容。为此,教材在定稿之前,应当经历相应的实验过程,而且实验对象的数量和实验时间的长度应当得到保证。使用者的反馈意见,相应实验数据的处理结果都应当成为修订、完善教材的重要依据。

 

      二、体现数学整体性特征

        尽管义务教育阶段所涉及到数学知识被分为代数、几何、统计与概率,但它们的主要研究对象都是我们生活的现实世界。这种研究对象的统一性从根本上导致了数学内容本身具有统一性、整体性。因此,从本质上看,许多不同的数学内容实际上反映的是同一对象具有的相同数学规律,区别只是在于表现形式不同、或者侧重面不同。比如,以“匀速直线运动”模型为代表的线性关系模式,既反映了匀速直线运动现象,也表达了以同样效率运行的某个主体(机器)的运行情况,还可以反映购买相同价格物体的购物现象,… 而且,这个模型既可以采用直线来表示,也可以采用形如y=kx+bkb是常数)的代数表达式来表示。换言之,它既可以被视为几何课程内容——可以通过几何途径对它进行研究,也可以被视为代数课程内容——可以用代数的方法对它进行研究,…。

     重要的是,我们的课程应当使学生真正感受到数学内容本身所具有的“整体性”——数学是统一的、许多不同内容之间存在实质上的联系,包括内涵与方法。这样的感受有助于学生正确地认识数学的价值、理解数学的内涵、形成应用数学解决问题的能力、发展自身的认识能力。从教材编写角度实现这一目标的具体途径包括:

1. 整体体现课程内容的核心

 作为《标准》的实验教材,其设计应整体体现作为教育任务的数学课程的内容的核心。而《标准》明确将内容核心浓缩为以下10个核心观念(词):数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力模型思想,并提出在此基础之上发展学生的应用意识创新意识。为此,教材的整体设计应将体现上述8个核心词的内涵作为突出课程内容核心的具体途径,围绕这些核心词展开课程内容,并借此发展学生的应用意识和创新意识。具体做法包括:

 ⑴ 在探索数学对象特征的活动中发展学生的核心观念

  学生核心观念的发展并不能简单地通过“被告知”而实现,只能通过自我实践以及在实际基础之上的感悟与概括活动实现。因此,教材在设计探究图形性质、研究概率实验结果、分析数据特征和理解运算原理等探索性等活动时,不能简单地以直接给出相应数学对象的内涵、体系的方式“呈现数学”,而应当设计有效的探索性活动,让学生尽可能多地从事观察、操作、归纳、类比、猜测、证明的机会,以发展其空间观念、运算能力、推理能力,数据分析观念等。

⑵ 通过概括不同数学内容中的共性帮助学生领会核心观念

 许多核心观念之所以成为课程内容的“核心”,其主要原因之一在于它们贯穿了众多不同的课程领域。比如,模型思想既可以在代数中体现、又能够在概率中见到。因此,教材可以在方程、不等式和函数等部分内容的编排中,突出“代数模型”的含义和建立代数模型、求解代数模型的过程。在分析不同概率实验实质的过程中,抽象出“概率模型”的含义,分析概率模型的实质。并在此基础上概括模型思想的实质,以发展学生的模型思想;类似地,在运用图形性质解决几何问题、构造代数对象的几何背景、利用图形特征表达数学问题等活动过程中,概括出借助图形表达数学对象(数学问题)结构的含义、基本做法和作用,以发展学生的几何直观。

⑶ 在解决实际问题的过程中发展学生的核心观念

 义务教育阶段的数学课程内容与学生的现实生活密切相关,但又在抽象程度上高于具体的现实生活。这使得我们的教材可以通过在“数学与生活”之间构建必要的“转换”,发展学生的核心观念。比如,通过对生活中实物、事件的个数、数量关系的分析、抽象,发展学生的数感;通过对具有实际背景的数及其关系的分析、对现实情境中几何实体关系的分析,发展学生的符号意识;通过应用数学知识、方法解决问题的活动,发展学生的应用意识;等等。

 特别地,在编制有关上述探索性活动、概括性活动和解决问题等活动的教材内容时,通过设计相应的活动要求,鼓励学生进行独立思考、合作交流,用自己的语言表达对事物的理解,给出自己认识事物的角度和解决问题的思路,可以有效地发展学生的创新意识。

      2. 整体考虑知识之间的关联

      如上所述,客观上,数学课程内容有代数、几何、统计、概率之分,但如前所述,数学本质上应当是一个整体,不同知识之间、不同课程领域之间都存在实质性联系,教材应着重于体现这些联系,而不是忽略它们。同时,一些重要概念、思想方法在不同的课程内容和数学现象中均有显著的体现,教材应着力挖掘它们,以帮助学生更好的理解。这些方面的工作包括:

 ⑴ 整体设计反映内容之间的实质性联系

  各学段数学教材在整体设计时应考虑如何反映课程内容之间存在的实质性联系,这既包括不同领域内容之间的实质性联系,如代数与几何、代数与统计概率之间的联系。例如:加法、乘法运算与几何量的测量、计算,代数公式的几何意义,代数推理与统计推断,等等;也包括相同课程领域内容之间的联系,如函数与方程、函数与不等式,方程与不等式,代数运算与数值计算,图形的相似与全等,统计推断与概率基础,等等。

 ⑵ 展示核心内容的多样化背景

《标准》中所开列的核心课程内容,比如函数、方程,图形的全等、图形与坐标,概率模型、统计推断等,体现了重要的数学思想方法,是数学学习的重点,但其中有相当部分又具有抽象与概括程度高,蕴含较为复杂的数学关系等特点,给学生认识其本质性内涵造成了较大的困难。对此,教材编写者应给予必要的关注,比如在编制相关内容时尽可能提供内容产生的多样化背景,暴露其丰富的内涵,以促进学生从不同角度对它们形成更好地理解。例如,函数概念形成之初,除去提供相应的数值模型、代数表达式以外,还应当提供图形变化类的背景;介绍一些抽象的代数运算时,应提供必要的几何背景;介绍概率模型时,应提供多种类型的具体案例,包括生活中和几何类的;等等。这些工作将有利于学生通过对不同表象下存在的数学本质的分析,理解相应知识的本质内涵。

 3. 重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则

  螺旋上升原则的理论基础主要包括两个方面,其一是学生数学思维水平发展的阶段性特征;其二是人在认识一个对象时,总是遵循由表及里,由浅入深的过程,而且在这个过程中,其后续学习总会影响对先前学习对象的认识,即学习的后迁移效应。因此,对于那些较为抽象、深刻的数学概念、方法或思想,由于对它们的认识要经历较长的学习阶段,因此,一方面,教材要在适当的情况下尽早提出学习主题,另一方面,不能期望学生们能够通过一次性学习就完成对它们的认识。例如,对分数、函数、概率等概念,对数形结合、逻辑证明、模型思想等方法的学习,教材就应当采用螺旋上升的处理原则,即:尽早渗透想法、逐步加深内涵、渐次提高要求。从而在对学习对象的深度、广度等方面体现出螺旋上升的做法。

     以函数为例,《标准》在三个学段中均安排了与函数有关的课程内容,而函数概念本身既是一个抽象、难以理解的学习对象,其中也富含数学思想方法。因此,教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则,即分阶段逐渐深化。比如,第三学段的教材就可以将函数内容的学习分为三个主要阶段:

第一阶段,通过一些具体实例,让学生感受一些具体的变化过程(包括数量变化、图形形状变化等),以及这些变化过程中变量之间蕴含的对应关系,探索这些关系具备的性质,尝试根据对应关系做出预测,以获得对函数的感性认识;

第二阶段,在感性认识的基础上,归纳概括出函数的定义,并研究具体的函数及其性质,了解研究函数的基本方法,借助函数的知识和方法解决问题等,使得学生能够在操作层面认识和理解函数;

第三阶段,了解函数与其他相关数学内容之间的联系(例如与方程之间、不等式之间的联系),使得学生能够一般性地了解函数的概念。

  4. 整体性体现还应注意以下几点

      ⑴ 整体性特征的体现应当考虑到学生认识的阶段性,即相关特征的呈现时机与方式应以学生的认识能力为基础;

  ⑵ 配置习题时应考虑其与相应内容之间的协调性:一方面,要保证配备必要的习题帮助学生巩固、理解所学知识内容;另一方面,又要避免配置的习题所涉及的知识超出相应的内容要求;

   ⑶ 数学文化作为教材的组成部分,应渗透在整套教材中。为此,教材可以适时地介绍有关背景知识,包括数学在自然与社会中的应用、以及数学发展史的有关材料,帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用,激发学习数学的兴趣,感受数学家治学的严谨,欣赏数学的优美。例如,可以介绍《九章算术》、珠算、《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术、布丰投针等。

 

三、教材内容呈现应体现过程性

  就具体的数学知识学习而言,存在着两个“过程”:其一是知识的产生、发展与形成过程,其二是学生对知识的认知过程。教材无疑应当同时关注上述两个“过程”。即

1.   内容呈现方式应体现过程性

  《标准》在阐述数学课程内容特征时,强调“它不仅包括数学

的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”,课程内容的组织“要重视过程,处理好过程与结果的关系”。因此,教材内容就不能只是单纯地介绍数学知识结构,而应当“展现知识的形成与应用过程”。

  反映知识的形成过程

  在呈现新知识时,教材可以通过提供“知识产生—知识形成—揭示联系”的过程,反映知识的形成过程,以激发学生的学习兴趣,促进其加深理解数学实质,了解知识之间的关联。例如,分数、负数、无理数和函数等知识的引入都可以体现这样的过程。这样的做法有利于学生从事探究活动,有利于学生理解数学、,并培养其思考能力。

  展现知识的应用过程

 要培养应用意识和创新意识,仅仅模仿记忆是不行的,教材应当设计运用数学知识解决问题的活动,即展现知识的应用过程。这样的过程可以是“问题情境─建立模型─求解验证”,即从具体的问题情境中抽象出数学问题、使用各种数学语言表达问题、建立数学模型、获得并确认合理的解答。这个过程显然有利于学生感悟数学思想、积累活动经验;有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,增强应用意识和能力。

  特别地,《标准》强调:每一册教材至少应当设计一个适用于“综合与实践”学习活动的题材,这样的题材可以以“长作业”的形式出现,将课堂内的数学活动延伸到课堂外,并且需要结合独立思考、合作交流等学习方式,让学生经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。一般而言,提倡在教材中设计多个丰富的“综合与实践”活动题材,供教师结合自己的教学条件作出选择。

     2. 活动设计符合学生认知过程

  对于数学学习,《标准》强调:学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。因此,教材提供的学习形式应丰富多样,确切地说,教材的活动设计“要符合学生的认知过程”。

 ⑴ 符合学生思维水平

       针对特定的学习主题,教材在考虑内容特征的前提下,应结合学生现有的思维水平、学习准备,设计合适的活动环节。比如,面对第一、二学段的学生,更多地设计操作、观察、演算和概括、猜测、推理等活动,让学生通过对操作实物、观察具体现象、数字验算和归纳共性、说明道理等活动方式,获得对对象的认识;对第二学段高年级学生或第三学段学生,则更多地设计观察、实验、抽象、推理和交流、证明、反思等活动方式,让学生通过观察现象、抽象概括、实验验证、证明结论和反思修正等活动方式,获得对对象的认识。

      ⑵ 活动过程利于学生一般性发展

  《标准》认为:学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等,都是学习数学的重要方式。因此,教材所提供的学习方式应丰富多样,但总体上应有利于学生的一般性发展,即提出问题、解决问题等能力的发展,质疑、思考、交流、反思等意识和习惯的养成。

   例如,在介绍方程求解和应用方程解决问题的内容时,不宜直接呈现具体的求解步骤,再辅以大量的练习,而应当提供具体问题情境,让学生经历尝试、猜测、修正等活动,在交流和比较的过程中,获得对一般性方法的认识,并最终形成适合自己的解决问题方法。

      四、呈现内容的素材应贴近学生现实

  学生的学习是建立在已有基础(包括知识技能、活动经验、生活背景等)之上进行的,而义务教育阶段课程内容中的数学概念基本上都可以在学生的现实中找到“原型”。因此,教材在引入学习主题时,应当选择合适的素材作为载体,在对素材的研究过程中获得对相应知识的认识。这里,学生的现实包含他们的生活现实、数学现实和其他学科现实。

     1. 生活现实

  根据义务教育阶段学生的年龄特征和认识规律,学习内容的引入要接近学生生活实际,背景的引入要便于学生理解。这里的生活现实包括学生在生活中经常遇到的现象、问题,但它们随着学生年龄、经历的变化而变化。

  例如,第一学段的学生更多地关注“有趣,好玩,新奇”的事物。因此,学习素材的选取,呈现,以及学习活动的安排都应当充分考虑到学生的实际生活背景和趣味性;第二学段的学生开始对“有用”的数学更感兴趣。此时,学习素材的选取更应当关注数学在生活中的应用(现实的,具体的问题解决);而第三学段的学生开始有比较强烈的自我意识,因此对与自己的直观经验相冲突的现象,对有挑战性的任务很感兴趣。这使得我们在学习素材的选取时除去关注数学的用处以外,也应当设法让学生经历“做数学”的机会(如研究探究性问题,开放性问题),使他们能够在这些活动中表现自我。

  当然,生活现实也与学生所处的地域特征(地理、文化、经济等)以及时代特征有关。

2. 数学现实

 标准提出:随着数学学习的深入,学生所积累的数学知识和方法就成为学生的“数学现实”。这些数学现实,主要包括学生已经具备的数学知识、技能,和活动经验与方法。这些现实应当成为学生进一步学习数学的素材。

 例如,因数分解的知识和方法,可以作为因式分解的基础和素材;图形的全等关系可以成为理解图形相似关系的基础、素材;方程可以成为理解不等式的基础、素材;第二学段对“平行”的感性认识可以成为后续研究“平行关系”的基础、素材;等等。

  3. 其他学科现实

 标准提出:数学的许多内容与其他学科知识有着密切的联系,随着学生学习的深入,其他学科(自然科学、社会科学、人文科学)的知识也就成为学生的“现实”。由于数学知识所具备的“基础性”特征,使得我们在学习其他相关学科内容时会经常遇到数学,或者,在解决其他学科学习中的问题时,我们经常用到数学知识。因此,对某些特定的数学课程内容而言,学生已经掌握的其他学科知识中存在一些相关内容,可以成为学习数学课程内容的基础、素材。在这样的学习过程中,既可以加深对所学数学的理解,反过来,也将促进学生对于数学是其他科学的语言和工具的理解。

 

无论是什么类型的学生现实,将其作为数学学习素材的主要任务都是引发学生学习欲望、引出学习对象、发展学生的抽象、概括能力等。因此,素材的呈现形式大多可以采用问题情境的方式。例如,

  在开始一元二次方程的学习时,可以从“梯子问题”中出现的“与直观相异”现象的研究出发,引出“一元二次方程”的模型和求解思路:   

一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的

垂直距离为8米.如果梯子的顶端下滑1米,那么

① 猜一猜,底端也将滑动1米吗?

② 列出底端滑动距离所满足的方程.

③ 你能尝试得出这个方程的近似解吗?底端滑动的距离比1大,还是比1小?与同学交流你的想法.

 在此基础之上,教科书可以再提供一些具体问题中的数量关系,使学生列出有关的一元二次方程,进而归纳出一元二次方程的一般特征,并产生研究方程一般解法的愿望,经历探索满足方程解的过程。  

 五、内容设计具备弹性特征

    《标准》明确提出:数学教学应当实现不同的人在数学上得到不同的发展的目标,它表明:在满足《标准》基本要求的前提下,对有进一步学习数学需求的学生,我们的课程体系应当给他们提供必要的帮助。事实上,增加弹性还可以激发学生的学习兴趣、引发思考、加强对所学内容的理解;有利于学生发现问题、提出问题,发展学生的创新意识。    

  就教材编写而言,这样的目标可以通过提供弹性内容设计来实现。

  1. 体现弹性特征的几种方式

    教材正文处理

  在教材正文中提供弹性的学习资料是一种常见的处理方式,即在规定的教学内容处理之后(或其他合适位置),直接提出建议进一步学习的数学对象或主题。这其中,较为简单的处理方式可以是在相关内容介绍完之后,直接提出一个思考性问题。当然,此地需要以醒目的标记标识,说明只是供有进一步学习愿望的同学使用,并不在必学之列。例如,《标准》中开列的“选学”内容即可以此方式处理:一般地,这些“选学”内容具有较为明显的数学价值,所以教材应将其列入学习内容,但既然是“选学”的,就必须以醒目的标记标识。而其他由编写者自行设计的内容也类似处理。例如,在介绍完“勾股定理”内容以后,可以提出“勾股数组”的相关内容。

  以特定栏目呈现

  在教材中设计一些固定的栏目,呈现相关内容。比如:阅读材料,即在教材中提供用于课后阅读的材料形式呈现,这类内容可以是介绍类信息,比如数学史料、应用案例、拓展性知识、名家趣说,等等。将弹性内容置于此处,供学生课后欣赏,可以视为给学生提供了一个较为轻松的学习氛围,使其在自觉合适的时机了解它们;还可以是“探索空间”,提供一些富有价值的数学问题,供感兴趣的学生自行探究;等等。

      ⑶ 配套习题处理

  在教材中的习题部分介绍弹性内容也是常见的处理手法。即:将习题分为不同类别的:必做题、选做题,并在合适处对此加以说明:选做题仅供有进一步学习需求的学生使用。但这样的处理有明显的局限性:编写时对相应的内容难以提供更多的介绍性信息或提示,使得关注它们的学生往往只满足于求得正确的答案,而这通常不是介绍弹性内容的最主要目的。

 ⑷ 教师用书中呈现

  还可以将需要介绍的弹性内容置于教师用书之中,这样处理的好处在于羁绊可以不受字数的限制,充分介绍相关内容,但遗憾之处是学生无法直接读到,需要教师提供进一步的帮助。

  2. 课程内容弹性处理的几点注意

   实际教学过程中,关注弹性课程内容的学生往往是比较喜爱相关课程内容的,而且大多数在数学学习方面表现较好的学生也多在此列。因此,所提供的弹性课程内容应有利于提高学习者学习数学的兴趣、研究数学的能力,具体的注意点包括:

     正确把握内容选择的基本方向

   选择弹性内容时,应遵循以下几个基本标准:

  ① 内容具有较为深刻的数学内涵,特别地,可以是注重重要的数学思想方法,而不是仅仅关注特定的细节,比如一种技巧、一个难度较大的问题;

  ② 一些具有普遍意义的数学应用案例。但此类内容的背景应当是学生能够理解的,也感兴趣的。它们可以是有时代特征的,也可以是经典的;

    作为特定学习阶段的弹性课程内容,无论是基于某些学习主题的进一步拓展,还是全新的数学对象,都不应当是学生在后续阶段(包括高中阶段)学习的课程内容。

  内容呈现的基本要求

   作为弹性内容,其要点之一应当是体现社会文明与技术的发展趋势,因此,应着重引导学生适应未来社会发展的需求。例如,更好地应用技术于解决问题的过程之中,而不是摒弃新技术、死守不必要的技能等;同时具体的内容呈现方式可以多样化,但作为仅仅提供给部分学生选学的一种材料,弹性课程内容在教材中不宜占有较大的篇幅;

 

  3. 关于教学弹性的处理

  一般而言,课堂中的教材有两种不同的形态,其一是以正式文本形式印制的“教科书”,其二是经过教师加工的教案。而且往往在实际教学活动中,教案对教学产生的影响更大,它们可以被视为“执行中的教材”。有效的教案常常是教师将自己的教学实际(学生状况、教学环境、教学技术、自身特长等)与对教材的认识结合以后,形成的对教材的加工产品,体现了教师的教学创造性。如何更好地满足实现这类教学创造性的需要,教材编写者也应当有所思考。或者说,教材对此也应给出类似的“弹性处理”。

      此类有益于教师实现教学创造的弹性内容,一般呈现在教师用书之中。

 

      六、呈现方式体现可读性

  教材作为学生学习数学的主要文本,无疑应具备可读性。所谓可读性,主要指教材中用于表达学习内容、活动要求、学习素材的文字和图表可以为学生读懂,甚至易引起学生的阅读欲望,并利于学生理解所要学习的数学主题。

  按照《标准》的要求,教材可读性的处理应关注以下几个方面:  

  1. 符合学生认知特点

  ⑴ 文字与图形

  由于处于不同学段学生的年龄特征不同,教材应按照《标准》

的要求,以适应其阅读习惯、阅读喜好的形式编写教材。这里,包括文字是否足以清晰表达所阐述的内容、是否适应学生的理解水平,进一步,是否能够引发学生的阅读兴趣,等等;图形是否形象地表明相应内涵、反映内容的数学关系,是否能够引起学生的阅读欲望,等等。

  ⑵ 教材体例

  以“章节”为例,教材的基本体例包括章结构,每节(学习主

题)的课时组成,每课时的主要栏目、活动环节与结构,章复习与习题等。这里,节名称、课时的活动环节、栏目的活动形式和构成都需要适应相应学生的数学学习水平和习惯,既不能超前、更不应拖后。

  素材选取与呈现方式

      学习素材往往是将学生引入学习的“诱饵”,因此其内容应当是该学段学生感兴趣的、能够理解的,同时,其表述更应当为学生所喜爱,并为之所吸引。比如,对第一、二学段的学生而言,故事、卡通图片、儿歌等更容易引发他们的学习兴趣;而对于第三学段的学生来说,由生活中常见现象而引出的疑问、与生活常识或直观性知识相冲突的现象、有思维挑战性的问题更易引发他们的积极思考。但就呈现方式而言,图片、表格与文字的有效结合总是必要的。

2.      促进学生发展

 引发学生思考

  学习数学的关键在于主动性思考。因此,可读性的一个重要

“延伸”使命是能够引起学生的思考,如果学生读完相应的教材内容仅仅止于读懂其含义,而没有能够产生进一步的探究或活动欲望,那么在某种程度上可以被视为没有“读懂”教材编写者的意图,当然也就没有能够达到通过数学学习促进学生发展的目标。因此,在内容呈现方面,将不同的活动方式(包括观察、操作、思考、交流等)按照认识活动的步骤,做有效的整合是必要的。同时,按照处于不同学段学生的年龄特点,采用恰当地方式呈现,可以有效地达到上述目的。

    ⑵ 促进学生抽象思维发展

   发展学生的抽象思维能力,既是更好地学习数学的需要,也是数学学习活动的目标之一。为此,《标准》明确提出了教材呈现要“按照学生年龄变化,做出必要调整”的基本思路:对于第一学段的学生,可以采用图片、游戏、卡通、表格、文字等多种方式,直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素材;对于第二学段的学生,由于他们具备了一定的文字理解和表达能力,所以教材的呈现应在运用学生感兴趣的图片、表格、文字等形式的同时,逐渐增加数学语言的比重;对于第三学段的学生,他们使用文字和数学符号的能力已经有了一定程度的发展。教材的呈现可以将实物照片、图形、图表、文字、数学符号等多种形式结合起来。这样的思路较为系统地体现了通过阅读材料形式的“逐步抽象”而促进学生抽象思维发展的策略。

 

稿源:2011版《义务教育数学课程标准解读》
作者:2011版课标解读专家组
编辑:桑者闲闲